Infatti si potrebbe essere tentati di ragionare in modo inverso; ossia: non ho una formula per trovare l'ennesimo primo senza passare per decomposizione, ma potrei individuare una o più formule (magari polinomiali) per individuare tutti i numeri di tipo 6k-1 e 6k+1 che NON siano primi. E quindi ragionare per esclusione, cioè trovare i numeri dell'insieme 6k-1 o 6k+1 distinti da quelli NON primi precedentemente trovati con formule e tentare di trovare quindi una bella formula polinomiale per i numeri primi. Ma purtroppo la cosa non riesce. Senza entrare nei dettagli, una rappresentazione figurata fa intuire almeno perché.
Intanto vorrei ricordare un fatto: gli anglosassoni, che non hanno in genere cultura classica, confondono promeco con eteromeco, utilizzandoli come sinonimi: invece non lo sono: un eteromeco è un numero rettangolare di tipo n(n+1); un promeco è un rettangolare diverso da n(n+1), quindi ad esempio potrebbe essere n(n+2) oppure anche n(n+3) etc.
Chiaramente un quadrato è un numero n*n.
Ora, visto pitagoricamente, un primo non è mai rettangolare in senso stretto, non entra mai nel piano, resta nella linea. Se vogliamo, è un rettangolare degenere, di lato 1. Per comodità diciamo che non è rettangolare.
Quindi, cosa abbiamo in colonna 1? Abbiamo quadrati (es: 49), promechi (es: 55) e naturalmente primi (es: 13) . Non ci sono eteromechi.
In colonna 5 abbiamo solo promechi e primi.
Ma un promeco ha sempre bisogno di due variabili per essere individuato; sono i due lati. Invece all'eteromeco ed al quadrato ne basta una sola, perché è il lato +1 per l'eteromeco ed il lato e basta per il quadrato.
Quindi fare il giochetto esposto prima significa andare nell'insieme 6k+1 (o 6k-1) e trovare in quell'insieme il complementare di qualcosa che ha sempre bisogno di due variabili per essere individuato; ecco perché è difficile; se si fa lo sforzo di trovare formule per i promechi (si trovano), divisi in famiglie, resta sempre il problema di due variabili (diciamo i e j) ; facendo il complementare ci si blocca perché ci sono termini misti i*j e non se ne fa nulla.
E' un modo per vedere la cosa.